Wissen kompakt · Mathe 10
Mathematik im
Freizeitpark
Achterbahnen, Funktionen und Ticketpreise – wie Mathematik im echten Leben funktioniert. Mit quadratischen Funktionen, Scheitelpunkt, pq-Formel und Prozentrechnung.
Achterbahnen, Funktionen und Ticketpreise – wie Mathematik im echten Leben funktioniert. Mit quadratischen Funktionen, Scheitelpunkt, pq-Formel und Prozentrechnung.
Bevor es auf die Bahnen geht, brauchen wir zwei wichtige Werkzeuge: die binomischen Formeln und die pq-Formel. Beide begegnen einem bei quadratischen Funktionen ständig – wer sie sicher beherrscht, hat bei allen folgenden Abschnitten einen klaren Vorteil.
Die binomischen Formeln helfen dabei, quadratische Terme schnell zu multiplizieren oder umzuformen – und begegnen einem bei der Beschreibung von Bahnkurven ständig.
Zwei konkrete Beispiele:
Beide Parabeln öffnen sich nach oben — die Verschiebung entlang der x-Achse ist klar erkennbar.
Warum ist das nützlich? Zum Beispiel wenn man eine Funktion wie f(x) = -(x – 3)² + 10 ausrechnen oder umformen will – das geht mit der binomischen Formel blitzschnell.
Merke: Die binomischen Formeln sind Abkürzungen beim Rechnen mit quadratischen Ausdrücken. Lohnt sich, sie auswendig zu kennen!
Wo berührt eine Kurve den Boden, also wo ist die Höhe gleich null? Das sind die Nullstellen der Funktion. Dafür gibt es die pq-Formel.
Beispiel: x² – 8x + 12 = 0 (p = -8, q = 12)
p und q ablesen: p = -8, q = 12
Einsetzen in die pq-Formel:
Ergebnis: x₁ = 6 und x₂ = 2
Die Kurve trifft den Boden bei x = 2 und x = 6 — dazwischen liegt sie in der Luft.
Die Parabel schneidet die x-Achse genau bei x = 2 und x = 6 — das sind die Nullstellen.
Merke: Die pq-Formel funktioniert nur bei Gleichungen der Form x² + px + q = 0 — also ohne Vorfaktor vor x². Steht dort eine andere Zahl, zuerst durch diesen Faktor dividieren, dann einsetzen.
Ein Freizeitpark öffnet morgens mit 240 Besuchern. Jede Stunde kommen 35 weitere hinzu. Wie viele sind nach x Stunden im Park?
Mit dieser Formel kann der Park planen: Wann wird es voll? Ab wann braucht man mehr Personal?
Merke: Bei einer linearen Funktion f(x) = mx + b ist m die Steigung (Veränderung pro Schritt) und b der Startwert (was bei x = 0 gilt).
Neben der Physik der Bahnen muss ein Freizeitpark auch wirtschaftlich funktionieren. Kinder zahlen 18 €, Erwachsene 29 €. An einem Tag besuchen 120 Kinder und 180 Erwachsene den Park.
Was passiert bei 10 % Preiserhöhung? Neue Preise mit Faktor 1,10 multiplizieren:
Merke: Eine Erhöhung um p % entspricht dem Multiplikationsfaktor (1 + p/100). Bei 10 % also × 1,10, bei 25 % also × 1,25. Das gilt für jeden Einzelpreis — und damit auch für die Gesamtsumme.
Achterbahnen haben keine geraden Strecken – ihre Auf- und Abfahrten folgen geschwungenen Kurven. Mathematisch lassen sich diese Kurven durch quadratische Funktionen (Parabeln) beschreiben.
Der Scheitelpunkt ist der höchste Punkt der Parabel — der Gipfel der Achterbahn:
Werte einsetzen: a = -0,5, b = 4
Höhe durch Einsetzen von x = 4:
Ergebnis: Scheitelpunkt S(4 | 10) — maximale Höhe 10 Meter nach 4 Streckeneinheiten.
Die Parabel öffnet sich nach unten. Der Scheitelpunkt (●) liegt bei x = 4, Höhe = 10 m.
Merke: Bei f(x) = ax² + bx + c gilt: Ist a negativ, öffnet die Parabel nach unten (Hügel-Form). Den Scheitelpunkt findet man bei x = -b / (2a) — den y-Wert durch Einsetzen dieses x.
Eine zweite Bahn im Park – die Wasserbahn – wird beschrieben durch:
Diese Schreibweise heißt Scheitelpunktform. Der Vorteil: Man kann den Scheitelpunkt direkt ablesen, ohne zu rechnen.
Scheitelpunkt direkt ablesbar: bei x = 3 liegt die maximale Höhe von 10 m.
Mit der binomischen Formel lässt sich g(x) auch ausrechnen:
Merke: Die Scheitelpunktform f(x) = a(x – d)² + e verrät den Scheitelpunkt S(d | e) auf einen Blick. Wichtig: (x – 3)² bedeutet Scheitelpunkt bei x = +3, nicht -3!
Betrachte den Graphen der Achterbahn f(x) = -0,5x² + 4x + 2. Wo steigt die Bahn steil an, wo fällt sie steil ab — und wo sind die Fahrgäste vermutlich am schnellsten?
Merke: Die Steigung einer Parabel ist links vom Scheitelpunkt positiv (Anstieg), am Scheitelpunkt null und rechts davon negativ (Abstieg). Je weiter weg vom Scheitelpunkt, desto steiler.
Vergleiche Anfang, Mitte und Ende der Achterbahn. Wie verändert sich die Höhe, und wo sind die Veränderungen besonders groß oder klein?
Merke: Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist die Änderungsrate am größten am Anfang und Ende — und am kleinsten nahe dem Scheitelpunkt.
Jeder gute Freizeitpark braucht eine Attraktion, die es woanders nicht gibt. Unsere Idee: eine Wasserattraktion mit zwei Wellen — eine kleine, sanfte Anfahrt zum Warmwerden, gefolgt von einer richtig steilen, fast senkrechten Abfahrt, bei der man kurz das Gefühl von freiem Fall hat. Statt einer einzelnen Parabel wie bei der Wasserbahn weiter oben setzen wir hier zwei Parabel-Abschnitte hintereinander ein, die wir nur miteinander kombinieren — gerechnet wird mit genau dem Werkzeug, das wir schon kennen: der Scheitelpunktform.
Die Bahn besteht aus zwei Teilstücken, die jeweils für sich eine ganz normale quadratische Funktion sind:
Erste Welle bei S₁(1,5|5) — ruhig. Zweite Welle bei S₂(6|14) — deutlich steiler, fast senkrechte Abfahrt.
Merke: Je größer der Betrag des Koeffizienten a in a(x−d)²+e, desto steiler und schmaler die Parabel. Ein Wechsel von a = -0,6 auf a = -1,8 macht aus einer sanften Welle eine deutlich dramatischere Steilfahrt — bei gleichem mathematischem Werkzeug.
So schön die Rechnung auf dem Papier auch ist — beim Übergang zwischen den beiden Abschnitten (bei x = 4) trifft das Ende von h₁ nicht exakt glatt auf den Anfang von h₂. Es entsteht ein kleiner Knick in der Kurve, gerade weil die zweite Welle so viel steiler ist als die erste. In der Realität müsste man diesen Übergang stark abrunden, damit Fahrgäste keinen plötzlichen Ruck spüren. Unsere Funktionen beschreiben also nur die grobe Form der Bahn — für den echten Bau bräuchte man zusätzliche Abrundungen am Übergang, die mit einfachen Parabeln allein nicht zu modellieren sind.